নিচের কোনটি sinA বা cosA এর বহুপদীরুপে sin 3A কে প্রকাশ করে?

গুণিতক কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাতের সূত্রগুলো এমন কোণগুলোর জন্য ব্যবহৃত হয় যা একটি কোণের দ্বিগুণ, তিনগুণ বা অর্ধাংশের মতো হয়। গুণিতক কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাতগুলো নিচে ব্যাখ্যা করা হলো:

১. দ্বিগুণ কোণের সূত্র (Double Angle Formula)

যদি \( \theta \) একটি কোণ হয়, তবে তার দ্বিগুণ \( 2\theta \) এর ত্রিকোনমিতিক অনুপাতগুলো নিম্নরূপ:

সাইন

\[
\sin(2\theta) = 2 \cdot \sin \theta \cdot \cos \theta
\]

কোসাইন

\[
\cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta
\]

ট্যানজেন্ট

\[
\tan(2\theta) = \frac{2 \cdot \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}
\]

২. তিনগুণ কোণের সূত্র (Triple Angle Formula)

তিনগুণ কোণের জন্য, যদি \( \theta \) একটি কোণ হয়, তবে \( 3\theta \) এর ত্রিকোনমিতিক অনুপাত নিম্নরূপ:

সাইন

\[
\sin(3\theta) = 3 \cdot \sin \theta - 4 \cdot \sin^3 \theta
\]

কোসাইন

\[
\cos(3\theta) = 4 \cdot \cos^3 \theta - 3 \cdot \cos \theta
\]

ট্যানজেন্ট

\[
\tan(3\theta) = \frac{3 \cdot \tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3 \cdot \tan^2 \theta}
\]

৩. অর্ধকোণের সূত্র (Half Angle Formula)

অর্ধকোণের ক্ষেত্রে, যদি \( \theta \) একটি কোণ হয়, তবে তার অর্ধাংশ \( \frac{\theta}{2} \) এর ত্রিকোনমিতিক অনুপাত হবে:

সাইন

\[
\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}
\]

কোসাইন

\[
\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}
\]

ট্যানজেন্ট

\[
\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}
\]

এই গুণিতক কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাতগুলো বিভিন্ন ত্রিকোণমিতিক সমস্যা সমাধানে ব্যবহৃত হয় এবং বিশেষ করে জটিল সমীকরণ সমাধানে খুবই সহায়ক।